Teorema Fundamental del Álgebra

Establece que "toda ecuación polinómica de grado n con coeficientes complejos tiene n raíces complejas".

Antecedentes

Los antiguos estudios (cerca del 800 d.C.) llevados a cabo por al-Khwarizmi sólo buscaban raíces reales positivas y de esta manera el Teorema Fundamental del Álgebra no tenía sentido. Cardano fue el primero en darse cuenta que se podía trabajar con cantidades más generales que los números reales. Este descubrimiento lo hizo estudiando la ecuación cúbica con el con de encontrar una fórmula para encontrar sus raíces.


Cuando aplicó su fórmula a la ecuación


                                                                    x³ = 15x + 4


obtuvo una solución que incluía √-121, cuando Cardano sabía que la solución debía ser x = 4.

Descartes en su La Geometrie, publicada en 1637, dice que se puede imaginar para toda ecuación de grado n, n raíces, pero estas raíces imaginarias no corresponden a ninguna cantidad real.

El primer matemático en declarar que las ecuaciones de grado n tienen n raíces fue Albert Girard en su Nouvelle invention en Algebre publicada en 1629.

Usualmente se conoce a Gauss como el primero en demostrar el Teorema Fundamental del Álgebra. En su tesis doctoral de 1799 presentó su primera demostración del teorema con las objeciones a todas las demostraciones realizadas por los anteriores.

Aplicando el teorema...

Se puede decir, que lo que el Teorema Fundamental del Álgebra intenta demostrar es el hecho de que toda ecuación polinomial que tenga un grado mayor o igual a 1 tiene al menos una raíz.

Veamos un ejemplo para entender mejor el concepto: 

Para empezar, este teorema también afirma que cualquier polinomio de grado mayor o igual que 1 con coeficientes complejos puede expresarse como un producto de factores lineales.

Es decir, si

                                                   entonces p(x)= a_n(x-r_i)(x-r₂) . . . (x-r_n)

donde r_i son números complejos (posiblemente reales y probablemente distintos).

Ahora, por el Teorema Fundamental del Álgebra sabemos que la ecuación p(x)=0 tiene por al menos una raíz compleja, digamos que esa raíz es r1. Por el teorema sabemos que x-r1 es un factor p(x). Por lo tanto, podemos escribir:

                                                                 p(x)= (x-r1) q1(x) 

donde el grado de q1(x) es n-1 y, de nuevo tiene como coeficiente principal an . Esto es cierto, pues dividimos entre x-r1 que tiene como coeficiente principal 1. 

Si el grado de q1(x) es cero, hemos terminado. 

¿Por que? Porque, podemos continuar el proceso, es decir, obteniendo raíces de la ecuación polinomial hasta que el último cociente qn(x) sea una constante, que como se demostró debe ser an.

Conclusión

En base a los conceptos mencionados y el sencillo ejemplo de demostración se puede concluir que: 

Cualquier ecuación algebraica de grado n posee puntualmente n soluciones complejas. Un polinomio de grado n tiene como máximo n raíces 

Método de Ruffini

Definición 

Este es un algoritmo que permite hallar las soluciones de ecuaciones de cualquier orden, a condición de que sus soluciones sean enteras. Para soluciones fraccionarias, este método resulta bastante difícil.

Este método es útil también para factorizar ecuaciones o expresiones matemáticas. 


Aplicando el Método de Ruffini

Para dejar esto más claro, veamos un ejemplo:

Hallar las soluciones de la siguiente ecuación de segundo grado:

                                              x²-5x+6=0

 Ahora, aplicaremos este método descrito a continuación:

En primer lugar se sitúan los coeficientes de la ecuación (1), (-5), (6), ordenados en potencias de (x) decrecientes, la siguiente disposición:

donde n es una constante, elegida al azar entre los divisores del último cociente (6). Estos divisores son llamados valores de prueba.

El método consiste en elegir un valor de prueba, elegido al azar, de entre los anteriores e ir sumando y multiplicando estos valores de una determinada forma, de manera que al final obtengamos un (-6), que sumando al último valor nos de (0), esto es:

Eligiendo como primer valor de prueba el número (3), este se situará en la posición definida a continuación. Se bajará el primer coeficiente, es decir, 1.

Seguidamente se multiplica dicho primer coeficiente por el valor de prueba (3) y se sitúa en la posición mostrada. Después se suma al número que se encuentra en la posición superior (-5) y se sitúa debajo, resultando (-2).

A continuación se repite la operación  con el siguiente valor, es decir, con el (-2), que multiplica por el valor de prueba (3), resultando un -6 que se situará en la posición que se muestra para después sumárselo al último valor (6) y obtener un (0), o sea:

El hecho de haber salido un (0), nos indica que el algoritmo ha resultado correcto, lo cual significa que el valor 3 es una solución de la ecuación y que los valores resultantes de la última fila son los coeficientes de una ecuación de un grado inferior a la primera.

De esta forma podemos obtener la ecuación factorizada:

                                                            (x-2)(x-3)

De donde las soluciones seran

        

                                                            x - 2 = 0       x = 2

                                                            x - 3 = 0       x = 3

Teorema del Resto

Este un método por el cual podemos obtener el residuo de una división algebraica pero en el cual no es necesario efectuar división alguna. Nos permite de esta forma averiguar el resto de la división de un polinomio p(x) entre otro de la forma x-a por ejemplo. Se deduce de este teorema que un polinomio p(x) es divisible entre x-a sólo si a es una raíz del polinomio, únicamente si y sólo si p(a) =0.

Si C(x) es el cociente y R(x) es el resto de la división de un polinomio cualquiera p(x) entre un binomio que sería (x-a), aplicamos el algoritmo de la división:

P(x) = C(x) • (x – a) + R(x)

El teorema del resto afirma que “el resto de dividir un polinomio P(x) por x - a es, precisamente, el valor del polinomio cuando x vale a”, es decir, R = P(a), pues como P(x) = (x - a)C(x) +R, al darle a x el valor a se obtiene

P(a) = (a - a)C(a) + R = 0 + R = R

Referencia bibliográfica 

José Manuel Casteleiro, La matemática es fácil: Manual de matemática básica para gente de letras, ESIC Editorial, 2008 - 462 páginas

Arthur Goodman,Lewis Hirsch,  Algebra y trigonometría con geometría analítica, Pearson Educación, 1996 - 642 páginas

http://www.ematematicas.net/polinomios.php?ejercicio=regla Ejercicios de Matemáticas, consultada el 10 de Septiembre del 2012