Precálculo

Teorema del Factor

"Si r es una raíz de la ecuación polinomial F(x)= 0 es decir F(x)= 0 entonces x-r es un factor de F(x). Recíprocamente, si x-r es un factor de la ecuación polinomial F(x)= 0 entonces r es un a raíz de la ecuación, o sea que F(r)= 0."

Podemos concluir que el teorema factor se puede utilizar para descubrir si un número es una raíz de un polinomio.Si el número se sustituye en un polinomio y el resultado es igual a 0 entonces el número entonces el número es una raíz del polinomio.

Veamos paso a paso como saber si un número es raíz de un polinomio.

¿Es 2 un raíz de x³+2x²-5x-6?

Paso	Ecuación	Descripción
1	`x³+2x²-5x-6 ≟ 0, x=2`	Éste es el caso a probar
2	`2³+2·2²-5·2-6 ≟ 0`	Substituto `2` adentro para el `x`.
3	`8+2·4-5·2-6 ≟ 0`	Simplifique los exponentes.
4	`8+8-10-6 ≟ 0`	Simplifique la multiplicación.
5	`0 ≟ 0`	Simplifique la suma. Desde `0 = 0`, `2` es una raíz del polinomio y `(x-2)` es un factor del polinomio.

División Sintética

Mediante el proceso conocido como la división sintética se puede reducir considerablemente el trabajo realizado para encontrar el cociente y el residuo que resultan al dividir un polinomio en x entre x - r.

Hablemos ahora, del procedimiento a seguir para llegar al resultado de este tipo de divisiones que irá acompañado de un ejemplo para facilitar la compresión de este proceso.

1. Se comienza por escribir los coeficientes apropiados representado el divisor y el dividendo:

2x³- 7x²+ 5 entre x - 3

3 | 2 -7 0 5

2. Se baja el 2, se multiplica 3 por 2 que es igual a 6, y se escribe el resultado en el renglón de en medio.

Luego se suma

3 | 2 -7 0 5

2 -1

3. Se repite este proceso de multiplicar y luego sumar hasta completar la tabla.

3 | 2 -7 0 5 <- Mutiplicamos 3(-1) = -3

6 -3

2 -1 -3 <- Sumamos 0 + (-3) = -3

3 | 2 -7 0 5 <- Multiplicamos 3(-3) = -9

6 -3 -9 <- Sumamos 5 + (-9) = -4

2 -1 -3 -4

4. Ahora podemos concluir que el cociente de la división estará dado por los coeficientes obtenidos al llenar la tabla, es decir, el cociente de esta división es:

2x² - x - 3

El último numero obtenido de la tabla, indica el residuo de la división que en este caso, es -4.

* La negritas indican la parte del proceso que se esta llevando a cabo en cada paso.

Regla de los signos de Descartes

La regla de los signos de Descartes fue propuesta por el filósofo y matemático francés René Descartes en su obra La Géométrie, de 1637, aunque no la demostró. Más adelante, en 1707, Isaac Newton reformuló dicha regla, aunque tampoco dio una demostración de la misma (se piensa que consideró demasiado trivial dicha demostración). La primera prueba conocida de este resultado se debe al matemático francés Jean-Paul de Gua de Malves, en 1740. Tuvo que ser Gauss quien, en 1828, mostró que si no hay tantas soluciones como cambios de signo, entonces el número de soluciones difiere del número de cambios en un múltiplo de dos.

Esta regla es estudiada con el fin de poder aislar las raíces reales de una ecuación algebraica.

Establece lo siguiente:

Dada un ecuación polinómica de grado n

el número de raíces positivas de p(x), es igual al número de variaciones de la sucesión numérica formada por sus coeficientes o menor que esa cantidad en un múltiplo de dos. Cada raíz debe contarse tantas veces como su orden de multiplicidad.

Veamos el siguiente ejemplo:

Con la siguiente ecuación

p(x)= 1 + 3x – 3x²- 4x³+ x⁴ + x⁵ = 0

tenemos la siguiente sucesión numérica a la que dan lugar sus coeficientes:

1, 3, -3, -4, 1, 1

de modo que indicando con V el numero total de variaciones, se tiene V = 2, y por consiguiente el número de raíces positivas será 2 ó 0.

En otras palabras, el número de raíces reales positivas de un polinomio p(x) es igual al número de cambios de signo de término a término de p(x), obviamente tomando en cuenta el orden decreciente conforme al grado de cada término

Analizando la siguiente ecuación

f(x)= x³- 4x²+ x + 6

tiene dos cambios de signo, por lo tanto tiene dos raíces positivas.

En síntesis, podemos decir que:

Referencias bibliográficas

Arthur Goodman,Lewis Hirsch, Algebra y trigonometría con geometría analítica, Pearson Educación, 1996 - 642 páginas

Paul K. Sparks Rees, Álgebra, Reverte 460 páginas

José Manuel Casteleiro, La matemática es fácil: Manual de matemática básica para gente de letras, ESIC Editorial, 2008 - 462 páginas

Félix García Merayo, Lecciones Prácticas de Cálculo Numérico, Univ Pontifica Comillas, 1995 - 187 páginas

Teorema Fundamental del Álgebra

Establece que "toda ecuación polinómica de grado n con coeficientes complejos tiene n raíces complejas".

Antecedentes

Los antiguos estudios (cerca del 800 d.C.) llevados a cabo por al-Khwarizmi sólo buscaban raíces reales positivas y de esta manera el Teorema Fundamental del Álgebra no tenía sentido. Cardano fue el primero en darse cuenta que se podía trabajar con cantidades más generales que los números reales. Este descubrimiento lo hizo estudiando la ecuación cúbica con el con de encontrar una fórmula para encontrar sus raíces.

Cuando aplicó su fórmula a la ecuación

x³ = 15x + 4

obtuvo una solución que incluía √-121, cuando Cardano sabía que la solución debía ser x = 4.

Descartes en su La Geometrie, publicada en 1637, dice que se puede imaginar para toda ecuación de grado n, n raíces, pero estas raíces imaginarias no corresponden a ninguna cantidad real.

El primer matemático en declarar que las ecuaciones de grado n tienen n raíces fue Albert Girard en su Nouvelle invention en Algebre publicada en 1629.

Usualmente se conoce a Gauss como el primero en demostrar el Teorema Fundamental del Álgebra. En su tesis doctoral de 1799 presentó su primera demostración del teorema con las objeciones a todas las demostraciones realizadas por los anteriores.

Aplicando el teorema...

Se puede decir, que lo que el Teorema Fundamental del Álgebra intenta demostrar es el hecho de que toda ecuación polinomial que tenga un grado mayor o igual a 1 tiene al menos una raíz.

Veamos un ejemplo para entender mejor el concepto:

Para empezar, este teorema también afirma que cualquier polinomio de grado mayor o igual que 1 con coeficientes complejos puede expresarse como un producto de factores lineales.

Es decir, si

entonces p(x)= a_n(x-r_i)(x-r₂) . . . (x-r_n)

donde r_ison números complejos (posiblemente reales y probablemente distintos).

Ahora, por el Teorema Fundamental del Álgebra sabemos que la ecuación p(x)=0 tiene por al menos una raíz compleja, digamos que esa raíz es r1. Por el teorema sabemos que x-r1 es un factor p(x). Por lo tanto, podemos escribir:

p(x)= (x-r1) q1(x)

donde el grado de q1(x) es n-1 y, de nuevo tiene como coeficiente principal an . Esto es cierto, pues dividimos entre x-r1 que tiene como coeficiente principal 1.

Si el grado de q1(x) es cero, hemos terminado.

¿Por que? Porque, podemos continuar el proceso, es decir, obteniendo raíces de la ecuación polinomial hasta que el último cociente qn(x) sea una constante, que como se demostró debe ser an.

Conclusión

En base a los conceptos mencionados y el sencillo ejemplo de demostración se puede concluir que:

Cualquier ecuación algebraica de grado n posee puntualmente n soluciones complejas. Un polinomio de grado n tiene como máximo n raíces

Método de Ruffini

Definición

Este es un algoritmo que permite hallar las soluciones de ecuaciones de cualquier orden, a condición de que sus soluciones sean enteras. Para soluciones fraccionarias, este método resulta bastante difícil.

Este método es útil también para factorizar ecuaciones o expresiones matemáticas.

Aplicando el Método de Ruffini

Para dejar esto más claro, veamos un ejemplo:

Hallar las soluciones de la siguiente ecuación de segundo grado:

x²-5x+6=0

Ahora, aplicaremos este método descrito a continuación:

En primer lugar se sitúan los coeficientes de la ecuación (1), (-5), (6), ordenados en potencias de (x) decrecientes, la siguiente disposición:

donde n es una constante, elegida al azar entre los divisores del último cociente (6). Estos divisores son llamados valores de prueba.

El método consiste en elegir un valor de prueba, elegido al azar, de entre los anteriores e ir sumando y multiplicando estos valores de una determinada forma, de manera que al final obtengamos un (-6), que sumando al último valor nos de (0), esto es:

Eligiendo como primer valor de prueba el número (3), este se situará en la posición definida a continuación. Se bajará el primer coeficiente, es decir, 1.

Seguidamente se multiplica dicho primer coeficiente por el valor de prueba (3) y se sitúa en la posición mostrada. Después se suma al número que se encuentra en la posición superior (-5) y se sitúa debajo, resultando (-2).

A continuación se repite la operación con el siguiente valor, es decir, con el (-2), que multiplica por el valor de prueba (3), resultando un -6 que se situará en la posición que se muestra para después sumárselo al último valor (6) y obtener un (0), o sea:

El hecho de haber salido un (0), nos indica que el algoritmo ha resultado correcto, lo cual significa que el valor 3 es una solución de la ecuación y que los valores resultantes de la última fila son los coeficientes de una ecuación de un grado inferior a la primera.

De esta forma podemos obtener la ecuación factorizada:

(x-2)(x-3)

De donde las soluciones seran

x - 2 = 0 x = 2

x - 3 = 0 x = 3

Teorema del Resto

Este un método por el cual podemos obtener el residuo de una división algebraica pero en el cual no es necesario efectuar división alguna. Nos permite de esta forma averiguar el resto de la división de un polinomio p(x) entre otro de la forma x-a por ejemplo. Se deduce de este teorema que un polinomio p(x) es divisible entre x-a sólo si a es una raíz del polinomio, únicamente si y sólo si p(a) =0.

Si C(x) es el cociente y R(x) es el resto de la división de un polinomio cualquiera p(x) entre un binomio que sería (x-a), aplicamos el algoritmo de la división:

P(x) = C(x) • (x – a) + R(x)

El teorema del resto afirma que “el resto de dividir un polinomio P(x) por x - a es, precisamente, el valor del polinomio cuando x vale a”, es decir, R = P(a), pues como P(x) = (x - a)C(x) +R, al darle a x el valor a se obtiene

P(a) = (a - a)C(a) + R = 0 + R = R

Referencia bibliográfica

José Manuel Casteleiro, La matemática es fácil: Manual de matemática básica para gente de letras, ESIC Editorial, 2008 - 462 páginas

Arthur Goodman,Lewis Hirsch, Algebra y trigonometría con geometría analítica, Pearson Educación, 1996 - 642 páginas

http://www.ematematicas.net/polinomios.php?ejercicio=regla Ejercicios de Matemáticas, consultada el 10 de Septiembre del 2012

martes, 11 de septiembre de 2012